Les systèmes de numération

Un système de numération est une manière de représenter les nombres à l’aide :

• d’un ensemble de symboles (les chiffres),
• d’une base (ou radix),
• d’une règle de position (valeur selon la place).

1. Le système décimal (base 10)

C’est le système utilisé dans la vie courante. Il utilise les chiffres de 0 à 9.

Exemple :

472 = 4×10² + 7×10¹ + 2×10⁰

2. Le système binaire (base 2)

Utilisé par les ordinateurs. Il n’utilise que deux chiffres : 0 et 1.

Exemple :

1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 11

3. Le système octal (base 8)

Utilise les chiffres de 0 à 7. Historiquement utilisé car un chiffre octal correspond à 3 bits.

Exemple :

157₈ = 1×8² + 5×8¹ + 7×8⁰ = 111

4. Le système hexadécimal (base 16)

Utilise les chiffres 0 à 9 et les lettres A à F. Très utilisé en informatique car un chiffre hexadécimal correspond à 4 bits.

Exemple :

3A₁₆ = 3×16¹ + 10×16⁰ = 58

5. Conversion entre bases

5.1 Décimal → Binaire

Méthode : divisions successives par 2.

Exemple avec 13 :

13 ÷ 2 = 6 reste 1
6 ÷ 2 = 3 reste 0
3 ÷ 2 = 1 reste 1
1 ÷ 2 = 0 reste 1

Lecture des restes de bas en haut → 1101₂

5.2 Binaire → Décimal

On développe en puissances de 2.

11001₂ = 1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 = 25

5.3 Binaire ↔ Hexadécimal

On regroupe les bits par paquets de 4.

1011 1100 → B C → BC₁₆

6. Pourquoi plusieurs systèmes ?

• Base 2 : fonctionnement interne des ordinateurs.
• Base 8 : historique, simplification du binaire.
• Base 16 : lecture humaine du binaire.
• Base 10 : usage quotidien.

7. Synthèse