Fondements de l'algèbre de Boole
1. Les valeurs logiques
L’algèbre de Boole manipule uniquement deux valeurs :
- 1 : vrai
- 0 : faux
2. Les opérateurs logiques de base
2.1 Opérateur ET (AND)
Le résultat est vrai uniquement si les deux valeurs sont vraies.
| A | B | A ET B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
2.2 Opérateur OU (OR)
Le résultat est vrai si au moins une des deux valeurs est vraie.
| A | B | A OU B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
2.3 Opérateur NON (NOT)
Il inverse la valeur logique.
| A | NON A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
3. Principales lois de l’algèbre de Boole
3.1 Lois d’identité
- A ET 1 = A
- A OU 0 = A
3.2 Lois de domination
- A ET 0 = 0
- A OU 1 = 1
3.3 Idempotence
- A ET A = A
- A OU A = A
3.4 Double négation
- NON (NON A) = A
3.5 Commutativité
- A ET B = B ET A
- A OU B = B OU A
3.6 Associativité
- (A ET B) ET C = A ET (B ET C)
- (A OU B) OU C = A OU (B OU C)
3.7 Distributivité
- A ET (B OU C) = (A ET B) OU (A ET C)
- A OU (B ET C) = (A OU B) ET (A OU C)
4. Exemple de table de vérité
Exemple pour l’expression : A OU (NON B)
| A | B | NON B | A OU (NON B) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
5. Lien avec la programmation
En programmation, ces opérateurs se retrouvent dans les conditions. Par exemple en pseudo-code :
SI (age >= 18 ET actif) ALORS ... SI (admin OU moderateur) ALORS ... SI (NON connecte) ALORS ...