Représentation des entiers en binaire

Les ordinateurs représentent les nombres en utilisant uniquement des bits (0 et 1). Pour les entiers, il existe deux grandes familles :

• Les entiers non signés (uniquement positifs)
• Les entiers signés (positifs et négatifs)

1. Entiers non signés

Un entier non signé sur n bits peut représenter des valeurs allant de :

0 à 2ⁿ - 1

Exemple sur 8 bits :

00000000 = 0
11111111 = 255

2. Entiers signés : pourquoi c’est plus compliqué ?

Pour représenter des nombres négatifs, plusieurs méthodes ont existé, mais la seule utilisée aujourd’hui est le complément à deux.

Pourquoi ? Parce qu’il permet :

• une seule représentation du zéro,
• une addition identique pour positifs et négatifs,
• une implémentation simple dans le matériel.

3. Le complément à deux : principe général

Pour représenter un nombre négatif, on applique trois étapes :

1. Écrire la valeur absolue en binaire.
2. Inverser tous les bits (complément à un).
3. Ajouter 1.

Exemple : représenter -5 sur 8 bits

1) Valeur absolue : +5

00000101

2) Inversion des bits :

11111010

3) Ajouter 1 :

11111010
+       1
---------
11111011

Résultat : -5 = 11111011 en complément à deux (sur 8 bits).

4. Comment reconnaître un nombre négatif ?

En complément à deux, le bit de poids fort (le premier à gauche) indique le signe :

• 0 → nombre positif
• 1 → nombre négatif

Exemples :

01101100 → positif
11101100 → négatif

5. Décoder un nombre négatif

Pour retrouver la valeur d’un nombre négatif en complément à deux :

1. Soustraire 1.
2. Inverser tous les bits.
3. Lire le résultat comme un entier positif.
4. Ajouter le signe négatif.

Exemple : décoder 11101100

1) Soustraire 1 :

11101100
-      1
--------
11101011

2) Inverser les bits :

00010100

3) Lire en décimal :

00010100₂ = 20

4) Ajouter le signe :

-20

6. Plage des valeurs possibles

Sur n bits, le complément à deux permet de représenter :

-2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ - 1

Exemples :

8 bits  →  -128 à +127
16 bits →  -32768 à +32767
32 bits →  -2147483648 à +2147483647

7. Pourquoi le complément à deux est-il si efficace ?

• Les additions fonctionnent sans cas particulier.
• La soustraction devient une simple addition.
• Le matériel est plus simple et plus rapide.
• Le zéro n’a qu’une seule représentation.

C’est pour cela que tous les processeurs modernes utilisent exclusivement le complément à deux.